第三节 一般归纳法

物理定律的性质和内容，都不可能单纯依靠思维来获得，唯一可能的途径是致力于对自然界的观察，尽可能收集最大量的各种经验事实，并把这些事实加以比较，然后以位

简单最全面的命题总结出来，换句话说，我们必须用归纳方法。 ——普朗克

一、原理

从对个别事物的考察中，抽象出其中的一般规律，然后概括到同类事物上，并从而断定，这个由个别事物中抽象出的规律，也是同类对象的共同规律。归纳法也就是从个别推知一般的方法，人不可能在其认识事物的过程中穷尽所有的现象，因而归纳方法在人的思维过程中是不可少的。

英国哲学家佛兰西斯.培根对归纳方法进行概括和总结，强调经验在认识中的作用。他撰写了《新工具》一书。认为科学的发展在于通过归纳推理的方法在技术知识、实验科学中寻找新的原理、新的操作程序和新的事实。强调归纳推理方法几乎在各个领域中都是可用的。

二、实例

1. 在度量园角的过程中，为了发现或证明其中的定理，我们先考虑：按照圆心与圆周角的边的位置关系存在几种可能的特殊情形，看到有3种特殊情形几乎包括卫切可能的情形，而在这3种特殊的情形中，都确立了相同的规律性，即“一切圆周角都等于它所对的弧的一半”。那么，我们就可以用圆周角所对的弧的一半来度量圆周角了。

2. 我在78年准备高考时，对几何证明题有独衷，很喜欢其中思维的严谨性，曾经把我感兴趣的解题思路记了一大本子，也理解了培根所说的“数学使人精细”的深意。比如：有这样一道题，求凸N边形的内角和（N≥3）。

“凸N边形”是个抽象的东西，它的内角和是多少，很难一下子就想出来。这时我们可对N取一特殊值，即从对一些特殊的多边形的研究来发现一般规律。先将N分别等于345、等来研究，如果还看不出规律，就再多取儿个值。

以In记凸n边形的内角和。

（1）当n＝3时，I3=180º。

（2）当n＝4时，由于三角形的内角和已经知道，所以容易想到把凸边形分割为三角形来解决。我们可以在凸四边形中引一条对角线（见上图）把凸四边形分成两个三角形。

这两个三角形的总和恰为原凸四边形的内角和，所以＝I4=2×180º

（3）当n＝5时，同理可证

（4）我们可以接着证明n＝6，7，8，最后可以得出结论h=（n一2）。

这类归纳的具体思路是：当我们遇到一个抽象（通常与N有关）的一般问题时，我们要设法把问题具体化，也就是特殊化，通过几个特殊问题的解决，归纳出解此类题的一般规律。

3. 请看如下一则广告：“抗菌剂能杀菌。细菌滋生于口腔中的食物残垢，造成口臭。

请用抗菌漱口剂，它能使你的呼吸更清新。”看起来，这则广告是符合逻辑，无懈可击的。但实际上，仔细一思考，它却有问题。因为，它舍却了抗菌剂发生作用的有关条件和属性。比如，对量的属性，它就未作周全的考虑。抗菌剂一进人口腔就会迅速稀释，最多不过是只有一分钟的杀菌作用。随着它的被排出口腔，其杀菌功效也就消失了。而细菌的繁殖却非常快，不一会儿就会又充满整个口腔了、实际上，实验室试管中抗菌剂的浓度，与漱口剂在口腔中可达到的浓度是极不相同的。但该广告在我们的生活中随处可见而人们对它也习以为常，不认为它有什么错误。

三、思考题

1. miscalculate 算错

misunderstanding 误解

misleading 误导

misdescription 错误报道

misread 读错

mistake 弄错

mistaught 教错

misrepresent 误传

mis是什么意思? 答：(错误)

2. 哪组数字的排列顺序与图形变化的规律相符?

A.1，2，4，3，5

B.4，3，2，5，1

C.3，2，1，4，5

D.1，2，3，5，4

3. 请证明用3分和5分的邮票可以组成8分以上的任何邮资。

4. 判断下列图形哪一个可以一笔画成。然后总结其中的规律是什么?

得出的规律是：……再用得出的规律判断下面的图形哪个可以一笔画?