第五章 假设法 - 本章内容
方法概述
1.假设法就是在解决问题的过程中，遇到一些条件少，无法下手的题目，根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，把复杂的问题转化为简单的问题处理，然后再进行推算，以求出原题的答案。
2.假设法的种类：
（1）条件假设法在解应用题时，有些数量关系比较隐蔽，如果对条件作出某种假设，则往往能顺利地找到解题途径。
（2）结果假设法当直接解一些应用题似乎无从下手时，可对问题的结果提出假设性答案，然后进行推算，当所得的结果与题目的条件出现差错时，再进行调整直至与题目的条件符合，从而得出正确的答案。
（3）过程假设法有些应用题过程比较复杂，数量关系不明显，这时，可对过程进行适当假设，使隐蔽的数量关系明朗化，达到化难为易的目的。
典例精讲
方法点一 条件假设法
例1 如果A×
=B×
=C×
,且A、B、C均不为0，请把A、B、C按从大到小的顺序排列。
方法指导
假设A×=B×=C×=1，则A与，B与，C与分别互为倒数，由此可以得出：A=4，B=
，C=
。最后比较这三个数的大小是：4＞＞，即，A＞C＞B。
正确解答 A＞C＞B
例2 一台笔记本电脑，先提价
，再打九折出售。现价和原价进行比较，（ ）。
A.现价贵 B.原价贵 C.价格没有变化 D.无法判定
方法指导
假设这台电脑4000元，提价后的电脑售价4000×1+=4400（元），现价是在4400元的基础之上打九折，现价就是4400×90%=3960（元）。最后比较4000和3960的大小。
正确解答 B
例3 小明上山的速度是每小时4千米，到了山顶后，小明按照原路返回，平均每小时行6千米，求小明上下山的平均速度。
方法指导
假设山脚到山顶的路程是12千米，则小明的上山时间为12÷4＝3（小时），下山的时间为12÷6＝2（小时），用小明上下山的路程和12×2＝24（千米）除以上下山的时间和，就可以求出小明上下山的平均速度。
正确解答
假设山脚到山顶的路程是12千米，则小明上山时间为12÷4=3（小时）,下山时间为12÷6=2（小时）。
平均速度：12×2÷（3+2）=4.8（千米/时）
答：小明上下山的平均速度是4.8千米/时。
提示:假设山脚到山顶的路程时，把这段路程假设成上山和下山速度的公倍数，计算起来比较简便。
例4 甲管注水速度是乙管的1.5倍，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将游泳池注满，问甲管注水时间是多少。
方法指导
假设乙管每小时注水1吨，则甲管每小时注水1×1.5=1.5（吨），两个水管12小时共注水（1+1.5）×12=30（吨），即注满游泳池要用30吨水。乙管9小时注1×9=9（吨），余下的30-9=21（吨）由甲管注水，需要注21÷1.5=14（小时）。
正确解答
假设乙管每小时注水1吨，则甲管每小时注水1×1.5=1.5（吨）。
（1+1.5）×12=30（吨）1×9=9（吨）30-9=21（吨）
21÷1.5=14（小时）
答：甲管注水时间是14小时。
例5 电影票10元一张，降价后观众增加一倍，收入将增加五分之一，那么一张电影票降低了多少元？
方法指导
这道题没有告诉降价前的观众人数是多少，用常规思路势必受阻。为了使常规思路畅通无阻，要设具体数量，不妨想最简单的。假设降价前只有1人购票，则按原价可收入10元，降价后人数为1+1=2（人），收入为
，因此，一张电影票降价10-12÷2=4（元）。
正确解答假设降价前只有1人购票，则按原价可收入10元，降价后的人数是1+1=2（人），降价后的收入是，每张电影票降价的钱数是10-12÷2=4（元）。
答：一张电影票降低了4元。
提示:在不改变原有数量关系的前提下，假设其为最简单情况，可使问题得到简化，易于求解。
例6 猎狗发现在离它10米远的前方有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，兔跑9步的路程，猎狗只需跑5步，但猎狗跑2步的时间兔子却跑3步，问猎狗追上兔子时共跑了多少米。
方法指导
猎狗和兔子每步跑的距离以及每步用时都是未知条件，可依据二者的数量关系对其进行假设。假设猎狗每步跑1米，每步用1秒钟，则兔子每步跑1×5÷9=
（米），每步用1×2÷3=（秒），兔子的速度是每秒跑
，猎狗追上兔子的时间为
（秒），猎狗共跑了1×60=60（米）。
正确解答
假设猎狗每步跑1米，每步用1秒钟。
则兔子每步跑的路程：1×5÷9=（米）
每步用时：1×2÷3=（秒）
兔子的速度：
猎狗追上兔子的时间：（秒）
猎狗跑的路程：1×60=60（米）
答：猎狗追上兔子时共跑了60米。
方法点二 结果假设法
例7 同学们参加野营活动，李军到负责后勤的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算，有多少个同学参加野营活动？
方法指导
假设参加野营的同学有6人（1，2，3的最小公倍数）。6个人共需要的碗数为6÷1＋6÷2＋6÷3＝11（个）。李军实际领55个碗，55÷11＝5，是假设6人所领碗数的5倍，所以参加野营的同学数也是假设人数的5倍。
正确解答
假设参加野营的同学有6人。
6个人需要的碗数：6÷1＋6÷2＋6÷3＝11（个）
参加野营活动的同学：6×（55÷11）＝30（个）
答：有30个同学参加野营活动。
例8 笼中共有鸡兔100只，350只脚，问鸡兔各有多少只？
方法指导
思路一 假设100只全为兔，则应有4×100=400（只）脚，比实际多了400-350=50（只）脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少4-2=2（只）脚，要减少50只脚，就要换50÷2=25（只）鸡，这样就求出了鸡的只数。
思路二 假设100只全为鸡，则应有2×100=200（只）脚，比实际少了350-200=150（只）脚，如果把一只鸡换成一只兔，那么可增加4-2=2（只）脚，要增加150只脚，就要换150÷2=75（只）兔，这样就求出了兔的只数。
正确解答
方法一 鸡：（4×100-350）÷（4-2）=25（只）
兔:100-25=75（只）
方法二 兔：（350-2×100）÷（4-2）=75（只）
鸡：100-75=25（只）
答：鸡有25只，兔有75只。
总结: 
例9 甲、乙、丙、丁四个人参加数学竞赛，赛后他们四人预测名次如下：
（1）甲说：“丙第一，我第三。”
（2）乙说：“我第一，丁第四。”
（3）丙说：“丁第二，我第三。”
（4）丁没有说话。
最后公布结果时，发现他们每人都预测对了一半，请说出他们四人竞赛的名次。
方法指导
先假设甲说丙为第一是正确的，那么甲为第三是错误的。
根据（2）可知，乙为第一是错误的，那么丁为第四是正确的。
根据（3）可知，丁为第二是错误的，那么丙为第三是正确的。
这样，丙为第一和丙为第三相互矛盾。所以，甲说丙为第一是错误。
丙为第一是错误的，那么甲为第三是正确的。
根据（3）可知，丙为第三是错误的，那么丁为第二是正确的。
根据（2）可知，丁为第四是错误的，那么乙为第一是正确的。
所以，乙为第一，丁为第二，甲为第三，丙为第四。
正确解答
乙为第一，丁为第二，甲为第三，丙为第四。
总结:每人说的两句话中，一句对一句错是分析解决这道题的关键，解决这个问题的方法是：先作出假设，然后根据已知条件进行正确的推理。如果推出矛盾，则说明假设不合理。没有推出矛盾，则说明假设合理。
方法点三 过程假设法
例10 买语文书30本，数学书24本，共花406.2元，已知每本语文书比每本数学书贵2.2元，语文书每本多少元？数学书每本多少元？
方法指导
假设语文书的单价便宜2.2元，那么数学书和语文书的单价就相同了。买30本语文书就可便宜2.2×30=66（元）。406.2元减去66元所得的差正好是30+24=54（本）数学书的总价。这样就可以求出数学书的单价了。
正确解答
数学书的单价：（406.2-2.2×30）÷（30+24）
＝340.2÷54
＝6.3（元）
语文书的单价：6.3+2.2=8.5（元）
答：语文书每本8.5元，数学书每本6.3元。
例11 少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收200人。今年计划招收246人，其中今年音乐班招收人数比去年增加25％，美术班招收人数比去年增加20％。今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人？
方法指导
假设美术班今年比去年也增加25％，则今年计划招收200×（1+25％）=250（人），比实际多250-246=4（人），这是因为美术班今年比去年增加的百分比与实际相比较多了去年的25％-20％=5％，去年美术班的5％对应的是4人，因此，去年美术班有4÷5％=80（人）。
正确解答
去年美术班人数:[200×（1+25％）-246]÷（25％-20％）
＝（250－246）÷5%
=80（人）
今年美术班人数:80×（1＋20％）
＝80×120%
＝96（人）
今年音乐班人数:246-96=150（人）
答：今年音乐班计划招收150人，美术班计划招收96人。