第一章 图示法 - 第4讲 画集合图法
方法概述
1.集合图法就是借助集合图列举某一确定范围内的事物，根据集合间的重叠关系解决问题的方法。 如本书第30页例4的题意分析图。
2.画集合图法解题的一般步骤：
（1）用集合图表示出题中的数量；
（2）确定集合之间的关系，标出重叠部分；
（3）运用集合间包含或排除的关系解决问题。
典例精讲
方法点一 画集合图解两个集合的重叠问题
例1 把下面的长方形纸分割成边长是整厘米数的正方形，正方形的边长可以是多少厘米？最长是多少厘米？
方法指导
要把长方形纸分割成正方形，则正方形的边长一定是24和16公有的因数，即公因数。用集合图分别表示出24和16的因数（如图一），由两个集合的共同部分可以确定公因数（如图二），进而求出最大公因数。
1，2，4，8是24和16的公因数，填写在两个集合的相交处。
正确解答
正方形的边长可以是1厘米、2厘米、4厘米、8厘米；边长最长是8厘米。
总结：把两个数的因数分别看作一个集合，它们的公因数就是这两个集合的重叠部分。
例2 学校甬路旁栽了一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80 m。原来每隔2 m栽一棵树，现在小树长大了，改为每隔5 m栽一棵树。如果两端的树不移动，中间有几棵树不用移动？
方法指导
树的间隔由2 m改为5 m，则位于2和5公倍数位置上的树不用移动。2和5的公倍数可以用下面的集合图表示。
把2的倍数写在一个集合里，5的倍数写在另一个集合里（如图一），两个集合相交的部分就是2和5的公倍数（如图二）。
正确解答
在80以内，2和5的公倍数有10，20，30，…，70，共有7个数，表示在这7个位置上的树不用移动，所以中间有7棵树不用移动。
例3 三年级一班有38人，订阅《语文报》的有27人，订阅《数学报》的有22人。这个班级每人至少订阅了一种报刊，订阅两种报刊的有多少人？
方法指导
由题意可知，订阅《语文报》的27人中有一部分人还订阅了《数学报》，订阅《数学报》的22人中也有一部分人订阅了《语文报》。所以，如果用A圈表示订阅《语文报》的人数，用B圈表示订阅《数学报》的人数，则两个圈相交的部分就表示同时订阅两种报刊的人数（如图所示）。
从图中可以看出，订阅两种报刊的人数等于A圈的人数加上B圈的人数减去全班的总人数。
正确解答
27+22-38=11（人）
答：订阅两种报刊的有11人。
例4 实验小学有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（三年级）
方法指导
题中信息可以用下面的集合图表示：
A圈表示参加书法比赛的人数，B圈表示参加绘画比赛的人数，两圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圈的人数减去阴影部分的人数。
正确解答
只参加书法比赛的人数：
72-24=48（人）
参加绘画比赛的人数：
110-48=62（人）
答：参加绘画比赛的有62人。
总结：集合的重叠部分同时属于这两个集合。计数时，每个集合都可以看作独有部分与重叠部分的和。
方法点二 画集合图解多个集合的重叠问题
例5 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？
方法指导
用A圈表示喜爱足球的人数，B圈表示喜爱篮球的人数，C圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（如图所示）。
由题意可知，3个圈各有26人，但班级总人数只有45人，所以重叠部分人数应为26×3－45＝33（人）。但有一些同学同时喜爱这三项球类运动，所以又出现了再次重叠，用喜爱两项运动的人数减去33人，即为喜爱三项运动的人数。
正确解答
喜爱两项运动以上的人数：
26×3－45＝33（人）
只喜爱两项运动的人数：
13＋14＋15＝42（人）
喜爱三项运动的人数：
42-33=9（人）
答：三项运动都喜爱的有9人。
提示：解决三个集合的重叠问题，每两个集合都有重叠的部分，且有一个重叠部分经过了两次重叠。
例6 某工作组中有6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语，有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语，有1人这三种语言都会说。这个工作组一共有几人？
方法指导
题中的数量关系可以用下面的集合图表示。
由上图可知，如果把会任一种语言的人数相加，总数是6＋5＋5＝16（人）。会两种以上语言的人数是3＋2＋2＝7（人），但7人中的1人同时会三种语言，再次重叠，所以重叠部分实际上是7－1＝6（人）。工作组的人数可以用总数量减去重叠部分的数量。
正确解答
总数量：6＋5＋5＝16（人）
会两种以上语言的人数：3＋2＋2－1＝6（人）
工作组人数：16－6＝10（人）
答：这个工作组一共有10人。
提示：集合总数量＝所有集合数量和-重叠数量。